Álgebra Linear: Transformação Linear

Verificar se  é uma transformação linear. Justificando sua resposta

Solução:

Verificando se T leva o vetor nulo do  no vetor nulo do .

Elementos necessários para esta verificação:

Vetor Nulo do =  

Lei de Formação: 

 corresponde a primeira coordenada;

 corresponde a segunda coordenada;

 corresponde a terceira coordenada.

Vejamos:

Portanto,  leva o vetor do  no vetor nulo do .

Dessa forma precisamos verificar as propriedades da definição:

Vejamos a Propriedade 1:

: A imagem da soma de dois vetores é igual a soma da imagem desses vetores.

Elementos necessários para esta verificação:

Sejam 

Soma dos vetores   e :

Lei de Formação: 

 corresponde a primeira coordenada;

 corresponde a segunda coordenada;

 corresponde a terceira coordenada

Fazendo a verificação de . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

A Imagem da soma

................................................................................................................................................................................

Soma das imagens

 

Logo a Propriedade 1 foi verificada, pois a imagem da soma dos vetores  e  é igual a soma das imagens desses vetores.

Vejamos a Propriedade 2:

A imagem da multiplicação de um vetor por um escalar é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor.

Elementos necessários para esta verificação:

Seja 

Multiplicação do escalar  pelo vetor :

:Lei de Formação: 

 corresponde a primeira coordenada;

 corresponde a segunda coordenada;

 corresponde a terceira coordenada

Fazendo a verificação de . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

Dessa forma, mostramos que a imagem da multiplicação do vetor  pelo escalar  é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor .

Tendo sido as Propriedades 1 e 2 verificadas,  é uma Transformação Linear.

Problema Resolvido: Base de um Espaço Vetorial

Verifique se o conjunto A constitui uma base para o Espaço Vetorial V

A = {(2,1),(3,-1)}; V=R²

Sejam:

V₁= (2,1), v₂=(3, -1)   e  V = R₂ = (0,0)

I – Fazendo a Combinação Linear:

a(2,1) + b(3,-1)

(2 a , a) + (3b, – b)

(2 a+3b, a – b)

II – Verificando se o conjunto A é LI. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor nulo:

(2 a+3b, a – b) = (0,0)

Montando o Sistema:

2 a+3b = 0 →2(b) + 3b= 0 → 5b -0 →b =0

a – b= 0  → a=b→a =0

Como obtivemos  a=b=0  o conjunto A é LI.

II I– Verificando se o conjunto A forma uma base. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor genérico do R₂ (x, y) e deveremos encontrar os valores de a e b em função de x e y

(2 a+3b, a – b) = (x,y)

Montando o Sistema:

2 a+3b = x  (I)

a – b= y  (II)

Somando as equações e I e II:

2 a+3b = x                    

a – b= y  (-2)

2 a+3b = x

- 2a – 2b= -2y 

           b= - 2y +x

Substituindo b = x-2y na equação II:

a – b= y 

a - 2y +x = y

a = y + 2y  - x

a = 3y – x

Dessa forma, obtivemos os valores de  a = 3y – x e b= - 2y +x

Tomamos um vetor genérico W e fazemos o seguinte:

a (v₁) + b(v₂)

3y – x (2,1) + - 2y +x(3, -1)

Dessa forma, fica demonstrado que gera o Espaço R_2,

Como o conjunto A é LI e gera o Espaço R_2, logo é base.

Problema Resolvido: Base e Dimensão

Determine uma base e a dimensão do subespaço

W₁ = {(1,1,1),(2,2,0),(0,0,-2)}. Justificando sua resposta.

Dentre os três vetores dados do Subespaço Vetorial do W1 podemos escolher um dos vetores para fazer a Combinação Linear com os outros dois. Para tanto, precisamos selecionar um que satisfaça a seguinte condição:

x + z = y (a soma da primeira coordenada com a terceira coordenada deve ser igual a segunda coordenada)

Assim, o vetor (2,2,0) satisfaz essa condição : 2+0 = 2. Dessa forma, posso chamá-lo d U e de v1=(1,1,1) e v2= (0,0,-2) e a e b escalares pertencentes ao conjunto dos números reais.

Vejamos:

U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = a (1,1,1) + b(0,0,-2)

(2,2,0)= (a,a,a) + (0,0, - 2b)

(2,2,0)= (a, a, a-2b)

Montando o sistema:

a= 2

a=2

a – 2b = 0 →  2– 2b =0→ -2b=2 →b=1

Substituiremos os valores de a= 2  b=1 a igualdade:

 U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = 2 (1,1,1) + 1(0,0,-2)

(2,2,0) = (2,2,2) + (0,0, -2)

(2,2,0) = (2+0, 2+0, 2-2)

(2,2,0)) = (2,2,0)

Como a igualdade é verdadeira, podemos afirmar que o vetor  U = (2,2,0) é Combinação Linear dos vetores v₁=(1,1,1) e

v₂= (0,0,-2), sendo portanto, os vetores v₁=(1,1,1) e v₂= (0,0,-2), uma base do Subespaço Vetorial W1.

     W_{1 =} [u,v₁,v₂] = [v₁,v₂]

Pelo fato, da base ser formada por 2 vetores o Subespaço possui dimensão 2 (Dim2)

Problema Resolvido: Subespaço Vetorial

Mostrar que W =     {(ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b}  é um subespaço vetorial de P2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

Demonstração

W =     (ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b

Sejam:

W₁ = (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) e W₁  = + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

E a condição:          c = 2a + b

Ou seja,

A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Vejamos:

I -         Verificando se a   adição satisfaz a condição :

W₁ + W₁= (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [( 2a₁ x²+b₁ x,) + (2a₂ x², +b₂ x)]

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (a₁ x² +a₂ x²)

2ª Componente: (b₁x + b₂ x)  

3ª Componente:  2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

II-     Verificando se a multiplicação por escalar satisfaz a condição: 

Vejamos:

α W₁α(a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x)

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,, [ α (2a₁ x²+b₁ x)]

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,[2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (α a₁ x²)

2ª Componente: (α b₁x)

3ª Componente:  [2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Conforme o exposto, demonstramos que a condição

c = 2a + b

foi satisfeita nas operações de adição e multiplicação por escalar. Dessa forma, demonstramos de W é um Subespaço Vetorial.

Problema Resolvido: Indução Matemática

Utilizando Indução Matemática mostre que para todo número natural    vale

(Isto é, a soma dos      primeiros múltiplos de     é igual a  .)

Demonstração:

6+12+18+...+6n = 3n(n+1)

Passo 1: Fazendo n=1

6(1) = 3(1)(1+1)

6 = 3(2)

6=6

Logo, a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 2: (Provando a Indução)

Se a igualdade é verdadeira para n=k, k≥1, então ela deve ser verdadeira para n=k+1.

I- Hipótese Indutiva: Fazendo n=k

6+12+18+...+6k = 3k(k+1)

II - Queremos provar que a mesma é verdadeira para k+1:

6+12+18+...+6(k+1) = 3(k+1)[(k+1)+1)]

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Para tanto somaremos 6(k+1) aos dois membros da Hipótese de Indução.

Vejamos:

6+12+18+...6k + 6(k+1)) = 3k(k+1) +6(k+1)

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 3k + 6k + 6

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 9k + 6

Resolvendo a Equação do Segundo Grau   3k2 + 9k + 6 = 0, obtivemos duas raízes:

k1= -1

k2=-2

Daí, temos:

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Dessa forma, provamos o que queríamos no item II.

Ou seja, mostramos que a proposição é verdadeira para todo k+1 e portanto para todo número natural k.

Problema Resolvido: Combinatória

Em uma reta r marcam-se 7 pontos: A, B, C, D, E, F e G. Em uma reta s, paralela à reta r, marcam-se mais 5 pontos: M, N, O, P, Q. Quantos triângulos diferentes é possível se construir se escolhermos dois pontos na reta r e um ponto na reta s ?

Solução:

Na reta r eu tenho 7 pontos, o enunciado diz que eu devo escolher 2 pontos desta reta. Então, fica:

C(7,2) =        7!                = 7.6.5!  = 21

                 2! (7-2)!            2! 5!

Na reta s eu tenho 5 pontos, o enunciado diz que eu devo escolher 1 ponto desta reta. Então, fica:

C(5,1)  =  5!              =   5.4!  = 5

           1! (5-1)!          1! 4!      

Assim, temos:

C(7,2) . C(5,1)  = 21.5 = 105 (Triangulos)

Problema Resolvido: Máximo Divisor Comum (M D C)

Pretende-se dividir três rolos de 630, 300 e 200 metros de comprimento, em pedaços iguais e de maior tamanho possível. a)O comprimento do pedaço b) A quantidade total de pedaço.
Solução:


Calculando o M. D. C (630, 300, 200): 630, 300, 200 І 2 315, 150, 100 І 5 63 30 20
Cada pedaço possui 10 metros. Os três rolos possui 63 + 30 + 20 = 113 pedaços.

Problema Resolvido: Teoria dos Conjuntos

Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos.
Resolução:
O percentual total é de 100%, pois todo aluno lê pelo menos um dos jornais.
n (AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B
100% = 80% + 60% - n(A∩B
100% = 140% - n(A∩B
n(A∩B = 140% - 100%
n(A∩B = 40%

Resposta: O percentual dos alunos que lêem os dois jornais é de 40%.


Referência:

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: conjuntos, funções, trigonometria, Volume 1 São Paulo; FTD, 1992.

Problema Resolvido: Produto Cartesiano

Um homem tem quatro camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se, usando, cada vez, uma calça diferente com uma das camisas?

Resolução:
Para tanto, utiliza-se o Produto Cartesiano e encontra-se todos os pares ordenados.
De uma forma prática, multiplica-se o número de camisas pelo número de calças.
4 X 3 = 12
Resposta: O homem poderá vestir-se de 12 maneiras diferentes.

Referência:
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: conjuntos, funções, trigonometria, Volume 1. São Paulo; FTD, 1992.