Problema Resolvido: Indução Matemática

Utilizando Indução Matemática mostre que para todo número natural    vale

(Isto é, a soma dos      primeiros múltiplos de     é igual a  .)

Demonstração:

6+12+18+...+6n = 3n(n+1)

Passo 1: Fazendo n=1

6(1) = 3(1)(1+1)

6 = 3(2)

6=6

Logo, a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 2: (Provando a Indução)

Se a igualdade é verdadeira para n=k, k≥1, então ela deve ser verdadeira para n=k+1.

I- Hipótese Indutiva: Fazendo n=k

6+12+18+...+6k = 3k(k+1)

II - Queremos provar que a mesma é verdadeira para k+1:

6+12+18+...+6(k+1) = 3(k+1)[(k+1)+1)]

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Para tanto somaremos 6(k+1) aos dois membros da Hipótese de Indução.

Vejamos:

6+12+18+...6k + 6(k+1)) = 3k(k+1) +6(k+1)

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 3k + 6k + 6

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 9k + 6

Resolvendo a Equação do Segundo Grau   3k2 + 9k + 6 = 0, obtivemos duas raízes:

k1= -1

k2=-2

Daí, temos:

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Dessa forma, provamos o que queríamos no item II.

Ou seja, mostramos que a proposição é verdadeira para todo k+1 e portanto para todo número natural k.

Problema Resolvido: Combinatória

Em uma reta r marcam-se 7 pontos: A, B, C, D, E, F e G. Em uma reta s, paralela à reta r, marcam-se mais 5 pontos: M, N, O, P, Q. Quantos triângulos diferentes é possível se construir se escolhermos dois pontos na reta r e um ponto na reta s ?

Solução:

Na reta r eu tenho 7 pontos, o enunciado diz que eu devo escolher 2 pontos desta reta. Então, fica:

C(7,2) =        7!                = 7.6.5!  = 21

                 2! (7-2)!            2! 5!

Na reta s eu tenho 5 pontos, o enunciado diz que eu devo escolher 1 ponto desta reta. Então, fica:

C(5,1)  =  5!              =   5.4!  = 5

           1! (5-1)!          1! 4!      

Assim, temos:

C(7,2) . C(5,1)  = 21.5 = 105 (Triangulos)

Problema Resolvido: Máximo Divisor Comum (M D C)

Pretende-se dividir três rolos de 630, 300 e 200 metros de comprimento, em pedaços iguais e de maior tamanho possível. a)O comprimento do pedaço b) A quantidade total de pedaço.
Solução:


Calculando o M. D. C (630, 300, 200): 630, 300, 200 І 2 315, 150, 100 І 5 63 30 20
Cada pedaço possui 10 metros. Os três rolos possui 63 + 30 + 20 = 113 pedaços.

Problema Resolvido: Teoria dos Conjuntos

Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos.
Resolução:
O percentual total é de 100%, pois todo aluno lê pelo menos um dos jornais.
n (AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B
100% = 80% + 60% - n(A∩B
100% = 140% - n(A∩B
n(A∩B = 140% - 100%
n(A∩B = 40%

Resposta: O percentual dos alunos que lêem os dois jornais é de 40%.


Referência:

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: conjuntos, funções, trigonometria, Volume 1 São Paulo; FTD, 1992.

Problema Resolvido: Produto Cartesiano

Um homem tem quatro camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se, usando, cada vez, uma calça diferente com uma das camisas?

Resolução:
Para tanto, utiliza-se o Produto Cartesiano e encontra-se todos os pares ordenados.
De uma forma prática, multiplica-se o número de camisas pelo número de calças.
4 X 3 = 12
Resposta: O homem poderá vestir-se de 12 maneiras diferentes.

Referência:
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: conjuntos, funções, trigonometria, Volume 1. São Paulo; FTD, 1992.

Problema Resolvido: Raciocínio Algébrico

Quando o primeiro filho de Vicente nasceu, a soma da sua idade e da sua mulher era de 79 anos, sendo que Vicente era 7 anos mais velho que sua mulher Agora responda:
a) Qual era a idade de Vicente?
b) Qual era a idade de sua mulher?

Resposta:
O que temos:
Idade da mulher de Vicente: x
Idade de Vicente: x + 7
A soma das idades de Vicente e sua mulher é igual a 79
Resolução do problema:
Calculando a idade da mulher de Vicente:
x + (x + 7) = 79
x + x + 7 = 79
2x = 79 – 7
2x = 72
2x = 72
x= 72: 2
x= 36
A mulher de Vicente tinha 36 anos de idade.
Calculando a idade de Vicente:
36 + 7 = 43
A idade de Vicente era 43 anos de idade.
Verificação:
x + (x + 7) = 79
36 + (36 + 7) = 79
36 + 43 = 79

A elaboração e resolução deste problema teve como referência a vídeo aula Matemática n° 03 do 2º Grau Telecurso 2000.

Problema Resolvido: Máximo Divisor Comum

Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possível.

Quantas balas devo colocar em cada pacote?

Quantos pacotes devo formar?

Resposta:

Para sabermos a quantidade de balas em cada pacote fazemos o M. D. C   entre os números 84, 144 e 160.

84│2

42│2

21│3

  7│7

   1

144│2

  72│2

  36│2

  18│2

    9│3

    3│3

    1

60│2

30│2

15│3

  5│5

  1

84 = 2² . 3. 7

                4

144 = 2  . 3²

60 = 2² . 3. 5

Pegamos os fatores comuns  de menor expoente

Assim, M. D. C (84, 144, 60) = 2² . 3 = 12

Cada pacote terá 12 balas.

Para sabermos quantos pacotes teremos dividiremos o número de balas de cada sabor por 12.

84:12 = 7     

144: 12 = 12

60: 12  = 5

Dessa forma teremos:

  7 pacotes de balas de coco;

12 pacotes de balas de chocolate;

  5 pacotes de balasde leite

Problema Resolvido: Máximo Divisor Comum

Dona Estela vai cortar duas peças de tecidos em pedaços de tamanho igual. Este tamanho deve ser o maior possível. Uma das peças tem 90 metros, a outra tem 78 metros. De que tamanho dona Estela deve cortar cada pedaço? Com quantos pedaços ela vai ficar?

Solução:
Este é um exercício de aplicação do Máximo Divisor Comum  (M.D.C).
Para sabermos o tamanho que dona Estela deve cortar cada pedaço das peças de tecidos fazemos a decomposição em fatores primos:

90│2

45│3

15│3

 5 │5

 1 │

78│2

39│3

13│13

1  │

90 = 2. 3². 5

78 = 2.3.13

Pegamos os fatores comuns de menor expoente:

M. D. C (90,78) = 2. 3 = 6

Respondendo a primeira pergunta:

Dona Estela deve cortar cada pedaço de tecido com 6 metros.

Para sabermos com quantos pedaços dona Estela vai ficar fazemos o seguinte:

Dividimos

90 : 6 = 15

78 : 6  = 13

Agora adicionamos

15 + 13 = 28

Respondendo a segunda pergunta:

Dona Estela vai ficar com 28 pedaços de tecido.

Problema Resolvido: Mínimo Múltiplo Comum

De 5 em 5 horas, o Sr.Joaquim toma um comprimido e, de 3 em 3 horas, um xarope. Se a meia noite ele tomou os dois remédios, a que horas voltará a tomar os dois remédios juntos?

Resolução:
Vamos resolver este problema através da decomposição em fatores primos.

Calculando o m.m.c (3,5):

3, 5 │3

1, 5 │5

1, 1 │

m.m.c (3,5) = 15

Seu Joaquim voltará a tomar os dois remédios juntos as 15 horas.

Problema Resolvido: Mínimo Múltiplo Comum

Duas pessoas fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo ponto e contornam andando uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas, andando de forma mais acelerada, dá uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltaram a se encontrar no ponto de partida?

Resposta: Este desafio é um exercício de aplicação de Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) e

pode ser resolvido tanto por decomposição em fatores primos quanto pelo conjunto dos múltiplos dos dois números.

Opatamos por resolvê pelo conjunto dos múltiplos dos números 12 e 20.
M(12) = {0, 12, 24, 36,48, 60, 72,...}
M(20) = {0, 20, 40, 60, 80,...}
M. M. C (12,20) = 60

Portanto,  as duas pessoas voltaram  a se encontrar após 60 minutos.