Problema Resolvido: Indução Matemática

Utilizando Indução Matemática mostre que para todo número natural    vale

(Isto é, a soma dos      primeiros múltiplos de     é igual a  .)

Demonstração:

6+12+18+...+6n = 3n(n+1)

Passo 1: Fazendo n=1

6(1) = 3(1)(1+1)

6 = 3(2)

6=6

Logo, a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 2: (Provando a Indução)

Se a igualdade é verdadeira para n=k, k≥1, então ela deve ser verdadeira para n=k+1.

I- Hipótese Indutiva: Fazendo n=k

6+12+18+...+6k = 3k(k+1)

II - Queremos provar que a mesma é verdadeira para k+1:

6+12+18+...+6(k+1) = 3(k+1)[(k+1)+1)]

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Para tanto somaremos 6(k+1) aos dois membros da Hipótese de Indução.

Vejamos:

6+12+18+...6k + 6(k+1)) = 3k(k+1) +6(k+1)

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 3k + 6k + 6

6+12+18+...6k + 6(k+1) = 3k2 + 9k + 6

Resolvendo a Equação do Segundo Grau   3k2 + 9k + 6 = 0, obtivemos duas raízes:

k1= -1

k2=-2

Daí, temos:

6+12+18+...+6(k+1) =  3(k+1)(k+2)

Dessa forma, provamos o que queríamos no item II.

Ou seja, mostramos que a proposição é verdadeira para todo k+1 e portanto para todo número natural k.