Problema Resolvido: Subespaço Vetorial

Mostrar que W =     {(ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b}  é um subespaço vetorial de P2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

Demonstração

W =     (ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b

Sejam:

W₁ = (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) e W₁  = + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

E a condição:          c = 2a + b

Ou seja,

A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Vejamos:

I -         Verificando se a   adição satisfaz a condição :

W₁ + W₁= (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [( 2a₁ x²+b₁ x,) + (2a₂ x², +b₂ x)]

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (a₁ x² +a₂ x²)

2ª Componente: (b₁x + b₂ x)  

3ª Componente:  2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

II-     Verificando se a multiplicação por escalar satisfaz a condição: 

Vejamos:

α W₁α(a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x)

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,, [ α (2a₁ x²+b₁ x)]

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,[2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (α a₁ x²)

2ª Componente: (α b₁x)

3ª Componente:  [2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Conforme o exposto, demonstramos que a condição

c = 2a + b

foi satisfeita nas operações de adição e multiplicação por escalar. Dessa forma, demonstramos de W é um Subespaço Vetorial.