Problema Resolvido: Base e Dimensão

Determine uma base e a dimensão do subespaço

W₁ = {(1,1,1),(2,2,0),(0,0,-2)}. Justificando sua resposta.

Dentre os três vetores dados do Subespaço Vetorial do W1 podemos escolher um dos vetores para fazer a Combinação Linear com os outros dois. Para tanto, precisamos selecionar um que satisfaça a seguinte condição:

x + z = y (a soma da primeira coordenada com a terceira coordenada deve ser igual a segunda coordenada)

Assim, o vetor (2,2,0) satisfaz essa condição : 2+0 = 2. Dessa forma, posso chamá-lo d U e de v1=(1,1,1) e v2= (0,0,-2) e a e b escalares pertencentes ao conjunto dos números reais.

Vejamos:

U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = a (1,1,1) + b(0,0,-2)

(2,2,0)= (a,a,a) + (0,0, - 2b)

(2,2,0)= (a, a, a-2b)

Montando o sistema:

a= 2

a=2

a – 2b = 0 →  2– 2b =0→ -2b=2 →b=1

Substituiremos os valores de a= 2  b=1 a igualdade:

 U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = 2 (1,1,1) + 1(0,0,-2)

(2,2,0) = (2,2,2) + (0,0, -2)

(2,2,0) = (2+0, 2+0, 2-2)

(2,2,0)) = (2,2,0)

Como a igualdade é verdadeira, podemos afirmar que o vetor  U = (2,2,0) é Combinação Linear dos vetores v₁=(1,1,1) e

v₂= (0,0,-2), sendo portanto, os vetores v₁=(1,1,1) e v₂= (0,0,-2), uma base do Subespaço Vetorial W1.

     W_{1 =} [u,v₁,v₂] = [v₁,v₂]

Pelo fato, da base ser formada por 2 vetores o Subespaço possui dimensão 2 (Dim2)