Problema Resolvido: Base de um Espaço Vetorial

Verifique se o conjunto A constitui uma base para o Espaço Vetorial V

A = {(2,1),(3,-1)}; V=R²

Sejam:

V₁= (2,1), v₂=(3, -1)   e  V = R₂ = (0,0)

I – Fazendo a Combinação Linear:

a(2,1) + b(3,-1)

(2 a , a) + (3b, – b)

(2 a+3b, a – b)

II – Verificando se o conjunto A é LI. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor nulo:

(2 a+3b, a – b) = (0,0)

Montando o Sistema:

2 a+3b = 0 →2(b) + 3b= 0 → 5b -0 →b =0

a – b= 0  → a=b→a =0

Como obtivemos  a=b=0  o conjunto A é LI.

II I– Verificando se o conjunto A forma uma base. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor genérico do R₂ (x, y) e deveremos encontrar os valores de a e b em função de x e y

(2 a+3b, a – b) = (x,y)

Montando o Sistema:

2 a+3b = x  (I)

a – b= y  (II)

Somando as equações e I e II:

2 a+3b = x                    

a – b= y  (-2)

2 a+3b = x

- 2a – 2b= -2y 

           b= - 2y +x

Substituindo b = x-2y na equação II:

a – b= y 

a - 2y +x = y

a = y + 2y  - x

a = 3y – x

Dessa forma, obtivemos os valores de  a = 3y – x e b= - 2y +x

Tomamos um vetor genérico W e fazemos o seguinte:

a (v₁) + b(v₂)

3y – x (2,1) + - 2y +x(3, -1)

Dessa forma, fica demonstrado que gera o Espaço R_2,

Como o conjunto A é LI e gera o Espaço R_2, logo é base.