Comunidade Virtual de Aprendizagem: Álgebra Linear: Transformação Linear

Verificar se $T(x,y,z)=(x-y,y+z,2x+3y+4z)$ é uma transformação linear. Justificando sua resposta

Solução:

Verificando se T leva o vetor nulo do $R^3$ no vetor nulo do $R^3$ .

Elementos necessários para esta verificação:

Vetor Nulo do $R^3$ = $R(0,0,0)$

Lei de Formação: $(x-y,y+z,2x+3y+4z)$

$(x-y)$ corresponde a primeira coordenada;

$(y+z)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2x+3y+4z)$ corresponde a terceira coordenada.

Vejamos:

$T(x,y,z)=(x-y,y+z,2x+3y+4z)$

$T(0,0,0)=(0-0,0+0,2.0+3.0+4.0)$

$T(0,0,0)=(0,0,0)$

Portanto, $T$ leva o vetor do $R^3$ no vetor nulo do $R^3$ .

Dessa forma precisamos verificar as propriedades da definição:

Vejamos a Propriedade 1:

$P_1$ : A imagem da soma de dois vetores é igual a soma da imagem desses vetores.

$T(u+w)=T(u))+ T(w)_$

Elementos necessários para esta verificação:

Sejam $u+(x_1,y_1,z_1; w= (x_2,y_2,z_2)$

Soma dos vetores $u$ e $w$ :

$u+w =(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$

Lei de Formação: $(x-y,y+z,2x+3y+4z)$

$(x-y)$ corresponde a primeira coordenada;

$(y+z)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2x+3y+4z)$ corresponde a terceira coordenada

Fazendo a verificação de $P_1$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

A Imagem da soma

$T(u+w)$

$T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$

$[(x_1+x_2)-(y_1+y_2)],[(y_1+y_2)+(z_1+z_2)],[2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+4(z_1+z_2)]$

................................................................................................................................................................................

Soma das imagens

$T(u)+T(w)$

$T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)$

$[(x_1-y_1),[(y_1+z_1])],[2((x_1)+3(y_1)+4(z_1)]+[(x_2-y_2)],[(y_2+z_2)],[2(x_2)+3(y_2)+4(z_2)]$

$[(x_1-y_1)+(x_2-y_2)],[(y_1+z_1)+(y_2+z_2)],[2(x_1)+2(x_2)]+[3(x_1)+3(x_2)],+4(z_1)+4(z_2)]$

$[(x_1-y_1)+(x_2-y_2)],[(y_1+z_1)+(y_2+z_2)],[2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+4(z_1+z_2)$

$[(x_1+x_2)-(y_1+y_2)],[(y_1+y_2)+(z_1+z_2)],[2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+4(z_1+z_2)$

Logo a Propriedade 1 foi verificada, pois a imagem da soma dos vetores $u$ e $w$ é igual a soma das imagens desses vetores.

Vejamos a Propriedade 2:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

A imagem da multiplicação de um vetor por um escalar é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor.

Elementos necessários para esta verificação:

Seja $u=(x_1,y_1,z_1)$

Multiplicação do escalar $\alpha$ pelo vetor $u$ :

$\alpha u=\alpha (x_1,y_1,z_1)$

$\alpha u=\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)$

:Lei de Formação: $(x-y,y+z,2x+3y+4z)$

$(x-y)$ corresponde a primeira coordenada;

$(y+z)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2x+3y+4z)$ corresponde a terceira coordenada

Fazendo a verificação de $P_2$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

$T(\alpha _1,\alpha y_1,\alpha z_1)=\alpha T(x_1,y_1,z_1)$

$[(\alpha x_1-\alpha y_1)],[(\alpha y_1+\alpha z_1)],[2(\alpha x_1)+3(\alpha y_1)+4\alpha z_1)]$

$[(\alpha x_1-\alpha y_1)],[(\alpha y_1+\alpha z_1)],[2(\alpha x_1)+3(\alpha y_1)+4\alpha z_1)]= [(\alpha x_1-\alpha y_1)],[(\alpha y_1+\alpha z_1)],[2(\alpha x_1)+3(\alpha y_1)+4(\alpha z_1)]$

Dessa forma, mostramos que a imagem da multiplicação do vetor $u$ pelo escalar $\alpha$ é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor $u$$ .

Tendo sido as Propriedades 1 e 2 verificadas, $T$ é uma Transformação Linear.

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sábado, 14 de junho de 2014

Álgebra Linear: Transformação Linear

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