Comunidade Virtual de Aprendizagem: Álgebra Linear: Transformação Linear no Espaço Vetorial P2

Verifique se $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow P_{2}$ definida por $T(a,b)=ax^2+bx+(2a-b)$ é uma transformação linear.

Solução:

Verificando se T leva o vetor nulo do $R^2$ no vetor nulo do $P_2$ .

Elementos necessários para esta verificação:

Vetor Nulo do $R^2=(0,0)$

Vetor Nulo do $P_2=(0x^2+0x+0)$

Lei de Formação: $ax^2+bx+(2a-b)$

$(ax^2)$ corresponde a primeira coordenada;

$(bx)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2a-b)$ duas vezes a primeira coordenada menos a segunda coordenada, corresponde a terceira coordenada.

Vejamos:

$T(a,b)=ax^2+bx+(2a-b)$

$T(0,0)= [(0.x^2)+(0.x)+(2.0-0)]$

$T(0,0)= [(0+0 (0+0)]$

$T(0,0)= (0,0,0)$

Portanto, $T$ leva o vetor do $R^2$ no vetor nulo do $P_2$ .

Dessa forma precisamos verificar as propriedades da definição:

Vejamos a Propriedade 1:

$P_1$ : A imagem da soma de dois vetores é igual a soma da imagem desses vetores.

$T(u+v)=T(u)+T(v)$

Elementos necessários para esta verificação:

Sejam $u=a_1x^2+b_1x+(2a_1x^2-b_1x);v=a_2x^2+b_2x+(2a_2x^2-b_2x)$

Soma dos vetores $u$ e $v$ :

$u+v=[(a_1x^2+a_2x^2)],[(b_1x+b_2x)],[2(a_1x^2+a_2x^2)-(b_1x+b_2x)]$

Lei de Formação: $ax^2+bx+(2a-b)$

$(ax^2)$ corresponde a primeira coordenada;

$(bx)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2a-b)$ duas vezes a primeira coordenada menos a segunda coordenada, corresponde a terceira coordenada.

Fazendo a verificação de $P_1$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

A Imagem da soma

$T(u+v)$

$T(u+v)=[(a_1x^2+a_2x^2)]+(b_1x+b_2x]+[(2a_1x^2-b_1x)+(2a_2x^2-b_2x)]$

$T(u+v)=[(a_1x^2+a_2x^2)],[(b_1x+b_2x)],[2(a_1x^2+a_2x^2)-(b_1x+b_2x)]$

..................................................................................................................................................................................

Soma das imagens

$T(u)+T(v)$

$T[(a_1x^2)],[(b_1x)]+2(a_1x^2)-b_1x)]+T[(a_2x^2)],[(b_2x)]+[2(a_2x^2)-(b_2x)]$

$[(a_1x^2+a_2x^2],[b_1x+b_2x],[2(a_1x^2+a_2x^2)-(b_1x+b_2x)]$

Logo, a Propriedade 1 foi verificada, pois a imagem da soma dos vetores $u$ e $v$ é a soma das imagens desses vetores.

Vejamos a Propriedade 2:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

A imagem da multiplicação de um vetor por um escalar é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor.

Elementos necessários para esta verificação:

Seja $u= a_1x^2+b_1x+(2a_1x^2-b_1x)$

Multiplicação do escalar $\alpha$ pelo vetor $u$ :

$\alpha u=\alpha( a_1x^2+b_1x+(2a_1x^2-b_1x)$

$\alpha u=\alpha a_1x^2+\alpha b_1x+(2\alpha a_1x^2-\alpha b_1x)$

Lei de Formação: $ax^2+bx+(2a-b)$

$(ax^2)$ corresponde a primeira coordenada;

$(bx)$ corresponde a segunda coordenada;

$(2a-b)$ duas vezes a primeira coordenada menos a segunda coordenada, corresponde a terceira coordenada.

Fazendo a verificação de $P_2$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

$T[(\alpha a_1x^2+\alpha b_1x+[2(\alpha a_1x^2)-\alpha b_1x)]=\alpha T(a_1x^2+b_1x+[2(a_1x^2)-b_1x )]$

$[(\alpha a_1x^2+\alpha b_1x+[2(\alpha a_1x^2)-\alpha b_1x)]=[\alpha a_1x^2+\alpha b_1x+[2(\alpha a_1x^2)-\alpha b_1x )]$

Dessa forma, mostramos que a imagem da multiplicação do vetor $u$ pelo escalar $\alpha$ é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor $u$$ .

Tendo sido as Propriedades 1 e 2 verificadas, $T$ é uma Transformação Linear.

Comunidade Virtual de Aprendizagem

sábado, 14 de junho de 2014

Álgebra Linear: Transformação Linear no Espaço Vetorial P2

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