Comunidade Virtual de Aprendizagem: Álgebra Linear: Transformação Linear utilizando Polinômios

Verifique se $T:P_{2} \rightarrow \mathbb{R}^2$ , definida por $T(ax^2+bx+c)=(2a-c,b^2)$ é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

Solução:

Verificando se T leva o vetor nulo do $P_2$ no vetor nulo do $R^2$

Elementos necessários para esta verificação:

Vetor Nulo do $P_2=(0x^2+0x+0)$

Vetor Nulo do $R^2=(0,0)$

Lei de Formação: $(2a-c,b^2)$

$(2a-c)$ duas vezes a primeira componente menos a terceira componente corresponde a primeira coordenada;

$(b^2)$ a segunda componente ao quadrado corresponde a segunda coordenada.

Vejamos:

$T(ax^2+bx+c)=(2a-c,b^2)$

$T(0x^2+0x+0)=2(0x^2)-0,(0)^2]$

$T(0x^2+0x+0)= (0-0,0]$

$T(0x^2+0x+0)= (0,0)$

Portanto, $T$ leva o vetor do $P_2$ no vetor nulo do . $R^2$

Dessa forma precisamos verificar as propriedades da definição:

Vejamos a Propriedade 1:

$P_1$ : A imagem da soma de dois vetores é igual a soma da imagem desses vetores.

$T(u+v)=T(u)+T(v)$

Elementos necessários para esta verificação:

Sejam $u= 2(a_1x^2)-c^1,(b_1x)^2$ e $v= 2(a_2x^2)-c_2,(b_2x)^2$

Soma dos vetores $u$ e $v$ :

$u+v=[2(a_1x^2)-c_1)]+[2(a_2x^2)-c_2)],[(b_1x^)^2+(b_2x)^2]$

Lei de Formação: $(2a-c,b^2)$

$(2a-c)$ duas vezes a primeira componente menos a terceira componente corresponde a primeira coordenada;

$(b^2)$ a segunda componente ao quadrado corresponde a segunda coordenada.

Fazendo a verificação de $P_1$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

A Imagem da soma

$T(u+v)$

$T(u+v)=[2(a_1x^2)-c_1)]+[2(a_2x^2)-c_2)],[(b_1x^)^2+(b_2x)^2]$

$[2(a_1x^2)+[2(a_2x^2)]-[(c_1+c_2)],[(b_1x)+(b_2x)]^2$

$[2(a_1x^2+a_2x^2]-[(c_1+c_2)],[(b_1x)+(b_2x)]^2$

..................................................................................................................................................................................

Soma das imagens

$T(u)+T(v)$

$T[2(a_1x^2)-c_1)],[(b_1x)^2]+T[2(a_2x^2-C_2)],[(b_2x)^2]$$$

$[2(a_1x^2-c_1)+[2(a_2x^2-c_2)],[(b_1x)^2+(b_2x)^2]$

$[2(a_1x^2)+[2(a_2x^2)]-[(c_1+c_2)],[(b_1x)+(b_2x)]^2$

$[2(a_1x^2+a_2x^2]-[(c_1+c_2)],[(b_1x)+(b_2x)]^2$

Logo, a Propriedade 1 foi verificada, pois a imagem da soma dos vetores $u$ e $v$ é a soma das imagens desses vetores.

Vejamos a Propriedade 2:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

A imagem da multiplicação de um vetor por um escalar é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor.

Elementos necessários para esta verificação:

Seja $u= 2(a_1x^2)-c^1,(b_1x)^2$

Multiplicação do escalar $\alpha$ pelo vetor $u$ :

$\alpha u= \alpha (2a_1x^2-c_1,(b_1x)^2$

$\alpha u=(2\alpha a_1x^2-\alpha c_1,(\alpha b_1x)^2$

Lei de Formação: $(2a-c,b^2)$

$(2a-c)$ duas vezes a primeira componente menos a terceira componente corresponde a primeira coordenada;

$(b^2)$ a segunda componente ao quadrado corresponde a segunda coordenada.

Fazendo a verificação de $P_2$ . Para tanto utilizaremos a Lei de Formação em ambos os membros:

$$$T(\alpha u)=\alpha T(u)$$)$

$T=\alpha [(2a_1x^2-c_1),(b_1x)^2]= \alpha T[(2\alpha _1x^2-c_1),(b_1x)^2]$

$[(2\alpha a_1x^2-\alpha c_1),(\alpha b_1x)^2]= [(2\alpha a _1x^2-\alpha c_1),(\alpha b_1x)^2]$

Dessa forma, mostramos que a imagem da multiplicação do vetor $u$ pelo escalar $\alpha$ é igual a multiplicação desse mesmo escalar pela imagem do vetor $u$$ .

Tendo sido as Propriedades 1 e 2 verificadas, $T$ é uma Transformação Linear.

Comunidade Virtual de Aprendizagem

sábado, 14 de junho de 2014

Álgebra Linear: Transformação Linear utilizando Polinômios

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