Problema Resolvido: Base de um Espaço Vetorial

Verifique se o conjunto A constitui uma base para o Espaço Vetorial V

A = {(2,1),(3,-1)}; V=R²

Sejam:

V₁= (2,1), v₂=(3, -1)   e  V = R₂ = (0,0)

I – Fazendo a Combinação Linear:

a(2,1) + b(3,-1)

(2 a , a) + (3b, – b)

(2 a+3b, a – b)

II – Verificando se o conjunto A é LI. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor nulo:

(2 a+3b, a – b) = (0,0)

Montando o Sistema:

2 a+3b = 0 →2(b) + 3b= 0 → 5b -0 →b =0

a – b= 0  → a=b→a =0

Como obtivemos  a=b=0  o conjunto A é LI.

II I– Verificando se o conjunto A forma uma base. Para tanto, igualamos a Combinação Linear ao vetor genérico do R₂ (x, y) e deveremos encontrar os valores de a e b em função de x e y

(2 a+3b, a – b) = (x,y)

Montando o Sistema:

2 a+3b = x  (I)

a – b= y  (II)

Somando as equações e I e II:

2 a+3b = x                    

a – b= y  (-2)

2 a+3b = x

- 2a – 2b= -2y 

           b= - 2y +x

Substituindo b = x-2y na equação II:

a – b= y 

a - 2y +x = y

a = y + 2y  - x

a = 3y – x

Dessa forma, obtivemos os valores de  a = 3y – x e b= - 2y +x

Tomamos um vetor genérico W e fazemos o seguinte:

a (v₁) + b(v₂)

3y – x (2,1) + - 2y +x(3, -1)

Dessa forma, fica demonstrado que gera o Espaço R_2,

Como o conjunto A é LI e gera o Espaço R_2, logo é base.

Problema Resolvido: Base e Dimensão

Determine uma base e a dimensão do subespaço

W₁ = {(1,1,1),(2,2,0),(0,0,-2)}. Justificando sua resposta.

Dentre os três vetores dados do Subespaço Vetorial do W1 podemos escolher um dos vetores para fazer a Combinação Linear com os outros dois. Para tanto, precisamos selecionar um que satisfaça a seguinte condição:

x + z = y (a soma da primeira coordenada com a terceira coordenada deve ser igual a segunda coordenada)

Assim, o vetor (2,2,0) satisfaz essa condição : 2+0 = 2. Dessa forma, posso chamá-lo d U e de v1=(1,1,1) e v2= (0,0,-2) e a e b escalares pertencentes ao conjunto dos números reais.

Vejamos:

U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = a (1,1,1) + b(0,0,-2)

(2,2,0)= (a,a,a) + (0,0, - 2b)

(2,2,0)= (a, a, a-2b)

Montando o sistema:

a= 2

a=2

a – 2b = 0 →  2– 2b =0→ -2b=2 →b=1

Substituiremos os valores de a= 2  b=1 a igualdade:

 U= a(v1) + b(v2)

(2,2,0) = 2 (1,1,1) + 1(0,0,-2)

(2,2,0) = (2,2,2) + (0,0, -2)

(2,2,0) = (2+0, 2+0, 2-2)

(2,2,0)) = (2,2,0)

Como a igualdade é verdadeira, podemos afirmar que o vetor  U = (2,2,0) é Combinação Linear dos vetores v₁=(1,1,1) e

v₂= (0,0,-2), sendo portanto, os vetores v₁=(1,1,1) e v₂= (0,0,-2), uma base do Subespaço Vetorial W1.

     W_{1 =} [u,v₁,v₂] = [v₁,v₂]

Pelo fato, da base ser formada por 2 vetores o Subespaço possui dimensão 2 (Dim2)

Problema Resolvido: Subespaço Vetorial

Mostrar que W =     {(ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b}  é um subespaço vetorial de P2, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

Demonstração

W =     (ax² + bx + c) ε a P₂; c = 2a + b

Sejam:

W₁ = (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) e W₁  = + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

E a condição:          c = 2a + b

Ou seja,

A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Vejamos:

I -         Verificando se a   adição satisfaz a condição :

W₁ + W₁= (a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x) + (a₂ x², b₂ x, 2a₂ x², +b₂ x)

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [( 2a₁ x²+b₁ x,) + (2a₂ x², +b₂ x)]

W₁ + W_{1  =} (a₁ x² +a₂ x²,  b₁x + b₂ x,  [2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (a₁ x² +a₂ x²)

2ª Componente: (b₁x + b₂ x)  

3ª Componente:  2(a₁ x²+a₂ x²)  + (b₁ x,+ +b₂ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

II-     Verificando se a multiplicação por escalar satisfaz a condição: 

Vejamos:

α W₁α(a₁ x², b₁x, 2a₁ x²+b₁ x)

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,, [ α (2a₁ x²+b₁ x)]

α W_{1 =} (α a₁ x², α b₁x,[2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Dessa forma, temos:

1ª Componente:  (α a₁ x²)

2ª Componente: (α b₁x)

3ª Componente:  [2 (α a₁ x²)+ (α b₁ x)]

Ficando assim, demonstrado a condição dada: A terceira componente é igual a duas vezes a primeira componente mais a segunda componente.

Conforme o exposto, demonstramos que a condição

c = 2a + b

foi satisfeita nas operações de adição e multiplicação por escalar. Dessa forma, demonstramos de W é um Subespaço Vetorial.